高数极限

本博客可以作为自学材料，也可作为考研竞赛凯哥-极限的讲义。

规则

无穷小代换：被代换部分与整体为乘除关系，即被代换部分为因子。

例：$\lim_{x\rightarrow0}\frac{x-\sin{x}}{x^3}$中不可把$\sin{x}$替换为x。
特殊无穷小代换：若α,β→0，且α ~ α~1~ ， β ~ β~1~ ，则α±β ~ α~1~±β~1~（可用等比定理证明）。

例：$x-\sin{x}$可替换为$arcsin{x}-x$。
局部代入：非零因子才能局部代换。

例：$\lim_{x\rightarrow0}\frac{x-\sin{x}\cos{x}}{x^3}$不能把$\cos{x}$代为1。
极限拆分：每个函数的极限都存在。

例:

六小函数图像: $xe^x, x\ln{x}, \frac{x}{e^x}, \frac{\ln{x}}{x}, \frac{e^x}{x}, \frac{x}{\ln{x}}$
两个重要极限：

$\lim_{x\rightarrow0} $ $\frac{sinx}{x}$ = 1

$\lim{x\rightarrow0}$ $(1+x)^\frac{1}{x}$ = $\lim{x\rightarrow+\infty}$ $(1+\frac{1}{x})^x$ = e
无穷小代换 (when $x\rightarrow0$)：

$x\sim\sin{x}\sim\arcsin{x}\sim\tan{x}\sim\arctan{x}\sim\ln{(x+1)\sim e^x-1}$

$\lim_{x\rightarrow1}(x-1)\sim\ln{x}$🖊

$x-sin{x}\sim\frac{1}{6}x^3\sim\arcsin{x}-x$

$\tan{x}-x\sim\frac{1}{3}x^3\sim x-\arctan{x}$

$\tan{x}-\sin{x}\sim\frac{1}{2}x^3\sim\arcsin{x}-\arctan{x}$

$x-\ln(1+x)\sim\frac{1}{2}x^2\sim1-\cos{x}$

$a^x-1\sim x\ln{a}$

$(1+ax)^b\sim abx$
$\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}\sim x$
等价无穷大代换：

$\alpha\sim\beta\rightarrow+0, 则\ln{\alpha}\sim\ln{\beta}\rightarrow-\infty$

证明： $\frac{\ln{a}}{\ln{b}}=\frac{\ln{a}-\ln{b}}{\ln{b}}+1=\frac{\ln{\frac{a}{b}}}{\ln{b}}+1=1$
1. $\lim{x\rightarrow+0}{\frac{\ln{\arctan{x}}}{\ln{(\ln(1+x))}}}=\lim{x\rightarrow+0}{\frac{\ln{x}}{\ln{x}}}=1$
2. $\lim{x\rightarrow+0}{(e^x-1-x)}^{\frac{1}{x}}=e^{\lim{x\rightarrow+0}{\frac{\ln(e^x-1-x)}{\ln{x}}}}=e^{\lim{x\rightarrow+0}{\frac{\ln{\frac{x^2}{2}}}{\ln{x}}}}=e^{\lim{x\rightarrow+0}{\frac{2\ln{x}-\ln{2}}{\ln{x}}}}=e^2$
3. $\lim{x\rightarrow{+}\infty}{(x^{\frac{1}{x}}-1)}^{\frac{1}{\ln{x}}}=e^{\lim{x\rightarrow{+}\infty}\frac{1}{\ln{x}}\ln{x^{\frac{1}{x}}-1}}e^{\lim_{x\rightarrow{+}\infty}\frac{1}{\ln{x}}(\ln{\ln{x}}-\ln{x})}=e^{-1}$
泰勒展开（速记）)

法一：想到$\lim_{x\rightarrow0}\sqrt[m]{1+ax}-1\sim\frac{a}{m}x$,则应围绕该项配凑。

$=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt[m]{1+ax}-1}{x}\sqrt[n]{1+bx}+\frac{\sqrt[n]{1+bx}-1}{x}$

$=\lim_{x\rightarrow0}\frac{ax}{mx}\bullet1+\frac{bx}{nx}$

$=\frac{a}{m}+\frac{b}{n}$

我们可以总结出$AB-1=(A-1)B+(B-1)$的恒等式。

法二：发现分子的结构，套用🖊公式

$=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\ln{\sqrt[m]{1+ax}\sqrt[n]{1+bx}}}{x}$

$=\lim{x\rightarrow0}\frac{\ln{\sqrt[m]{1+ax}}}{x}+\lim{x\rightarrow0}\frac{\ln{\sqrt[n]{1+bx}}}{x}$

$=\lim{x\rightarrow0}\frac{\sqrt[m]{1+ax}-1}{x}+\lim{x\rightarrow0}\frac{\sqrt[n]{1+bx}-1}{x}$

2.求$\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\cos{x}\cos{2x}\cos{3x}\cdots\cos{nx}}{x^2}$

法一：构造

$=\lim{x\rightarrow0}\frac{1-\cos{x}}{x^2}+lim{x\rightarrow0}\cos{x}\frac{1-\cos{2x}\cos{3x}\cdots\cos{nx}}{x^2}$

$=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times2^2+\frac{1}{2}\times{3^2}+\cdots$

$=\frac{1}{2}\times\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ (平方和公式)

法二：🖊

$=-\lim_{x\rightarrow0}\frac{\ln{\cos{x}\cos{2x}\cdots\cos{nx}}}{x^2}$

$=\lim_{x\rightarrow0}\sum_1^n\frac{1-\cos{ix}}{x^2}$

$=\lim_{x\rightarrow0}\sum_1^n\frac{(ix)^2}{2x^2}$

$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin{x}}{x}^{\frac{1}{1-\cos{x}}}$
$\lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{x3}[({\frac{2+\cos{x}}{3}})^x-1]$
$\lim_{x\rightarrow0}(\frac{e^x+e^{2x}+e^{3x}+\dots+e^{nx}}{n})^{\frac{e}{x}}$
$\lim_{x\rightarrow{+}\infty}[{\frac{(1+\frac{1}{x})^x}{e}]}^x$
$\lim_{x\rightarrow0}\frac{(3+2\tan{x})^x-3^x}{3\sin^2{x}+x^3\cos{\frac{1}{x}}}$
$f(x),g(x)$在x=0的领域U内有定义，且对$\forall x\in U$,均有$f(x)\not=g(x),且\lim{x\rightarrow0}{f(x)=\lim{x\rightarrow0}{g(x)}}=a>0,求\lim_{x\rightarrow0}\frac{[f(x)]^{g(x)}-[g(x)]^{f(x)}}{f(x)-g(x)}$